16.The average of 7 distinct natural numbers is 26. The average of the least two numbers is 16. The average of the largest two numbers is 36. Sum of smallest and largest is 52. Sum of the squares of the middle three numbers is 2084. If all the 7 numbers are even and written in increasing order, what is the 3rd number counted from the largest number?ఏడు విభిన్న సహజ సంఖ్యల సరాసరి 26. కనిష్ఠ రెండు సంఖ్యల సరాసరి 16. గరిష్ఠ రెండు సంఖ్యల సరాసరి 36. కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠ సంఖ్యల మొత్తం 52 మధ్యలో ఉన్న మూడు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తము 2084. ఈ ఏడు సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలు అయి మరియు వాటిని ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాస్తే, గరిష్ఠ సంఖ్య నుండి లెక్కించగా, 3వ సంఖ్య ఏది ?

 16.The average of 7 distinct natural numbers is 26. The average of the least two numbers is 16. The average of the largest two numbers is 36. Sum of smallest and largest is 52. Sum of the squares of the middle three numbers is 2084. If all the 7 numbers are even and written in increasing order, what is the 3rd number counted from the largest number?ఏడు విభిన్న సహజ సంఖ్యల సరాసరి 26. కనిష్ఠ రెండు సంఖ్యల సరాసరి 16. గరిష్ఠ రెండు సంఖ్యల సరాసరి 36. కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠ సంఖ్యల మొత్తం 52 మధ్యలో ఉన్న మూడు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తము 2084. ఈ ఏడు సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలు అయి మరియు వాటిని ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాస్తే, గరిష్ఠ సంఖ్య నుండి లెక్కించగా, 3వ సంఖ్య ఏది ?

చాలా సులభంగా, దశలవారీగా క్లియర్‌గా వివరించమంటారా మధు గారు? చక్కగా చుద్దాం:

---

ఈ ప్రశ్నను సులభమైన స్టెప్ బై స్టెప్ పద్ధతిలో చేద్దాం.

---

✅ ఇవ్వబడిన సమాచారం:

7 distinct natural numbers → Let them be in ascending order:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇

(All are even numbers and in increasing order)

1. Average of all 7 numbers = 26

👉 Sum = 26 × 7 = 182

2. Average of least 2 numbers = 16

👉 a₁ + a₂ = 16 × 2 = 32

3. Average of highest 2 numbers = 36

👉 a₆ + a₇ = 36 × 2 = 72

4. Sum of smallest and largest = a₁ + a₇ = 52

5. Sum of squares of middle 3 numbers = a₃² + a₄² + a₅² = 2084

👉 We are asked to find:

3rd number counted from the largest = a₅

---

✅ Step 1: Use total sum

We know:

Sum of all = 182

Sum of a₁ + a₂ = 32

Sum of a₆ + a₇ = 72

So,

Middle 3 numbers a₃ + a₄ + a₅ = 182 - (32 + 72) = 182 - 104 = **78**

---

✅ Step 2: Use a₁ + a₇ = 52

Already we have:

a₁ + a₂ = 32 → So, a₂ = 32 - a₁

a₆ + a₇ = 72 → So, a₆ = 72 - a₇

Also,

a₁ + a₇ = 52 → So, a₇ = 52 - a₁

Now plug into a₆:

a₆ = 72 - a₇ = 72 - (52 - a₁) = 72 - 52 + a₁ = 20 + a₁

So far:

a₁ = a₁

a₂ = 32 - a₁

a₆ = 20 + a₁

a₇ = 52 - a₁

Now remaining are a₃, a₄, a₅

We know their sum = 78, and their squares add to 2084

---

✅ Step 3: Try possible even values for a₁

Let’s try a₁ = 10 (a small even number)

Then:

a₂ = 32 - 10 = 22

a₇ = 52 - 10 = 42

a₆ = 20 + 10 = 30

Now: Used numbers so far: 10, 22, ?, ?, ?, 30, 42

Total sum used: 10 + 22 + 30 + 42 = 104

Remaining sum = 182 - 104 = 78

Let’s try to split 78 into 3 even numbers between 22 and 30

Try: 24, 26, 28

Their squares:

24² = 576

26² = 676

28² = 784

Total = 576 + 676 + 784 = 2036 ❌ too low

Try: 26, 28, 30

Sum = 84 ❌ too high

Try: 22, 26, 30 → Sum = 78

Squares = 484 + 676 + 900 = 2060 ❌

Try: 22, 28, 28 → invalid (not distinct)

Try: 24, 26, 28 → we tried = 2036

Try: 24, 28, 26 → same

Try: 22, 24, 32

Sum = 78

Squares = 484 + 576 + 1024 = 2084 ✅✔️

Perfect!

So middle three numbers = 22, 24, 32

But 22 already used as a₂!

So 22 is duplicate ❌

Try: 20, 26, 32 → sum = 78

Check squares = 400 + 676 + 1024 = 2100 ❌

Try: 24, 26, 28 → total = 78

Squares = 576 + 676 + 784 = 2036 ❌

Try: 26, 24, 28 → again 2036

Try: 22, 26, 30 → sum = 78

Squares = 484 + 676 + 900 = 2060 ❌

Try: 24, 26, 28 → again 2036 ❌

Try: 22, 28, 32 → sum = 82 ❌

Try: a₁ = 12

Then a₂ = 32 - 12 = 20

a₇ = 52 - 12 = 40

a₆ = 20 + 12 = 32

So knowns: 12, 20, ?, ?, ?, 32, 40 → sum = 12+20+32+40 = 104

Remaining = 78

Try: 24, 26, 28 → sum = 78

Squares = 576 + 676 + 784 = 2036 ❌

Try: 22, 26, 30 → sum = 78

Squares = 484 + 676 + 900 = 2060 ❌

Try: 20, 26, 32 → 20 is duplicate ❌

Try: 24, 28, 26 → same, still 2036

Try: 22, 28, 28 → duplicate ❌

Try: 22, 30, 26 → sum = 78

Squares = 484 + 900 + 676 = 2060 ❌

Try: 22, 28, 32 → sum = 82 ❌

Try: a₁ = 14

Then a₂ = 18

a₇ = 38

a₆ = 34

Used: 14, 18, ?, ?, ?, 34, 38 → sum = 14+18+34+38 = 104

Remaining = 78

Try: 24, 26, 28 → sum = 78

Squares = 2036 ❌

Try: 20, 26, 32 → 20 not used, good

Squares = 400 + 676 + 1024 = 2100 ❌

Try: 22, 24, 32 → 22 not used

Squares = 484 + 576 + 1024 = 2084 ✅✔️

Perfect set: Middle 3: 22, 24, 32

Already used: 14, 18, 34, 38

Complete list in increasing order:

14, 18, 22, 24, 32, 34, 38

---

✅ Final Step: 3rd number from largest?

List:

1st from largest: 38

2nd from largest: 34

3rd from largest: 32

---

✅ Answer: 32 🎯

---

మీకు మరింత సహాయం కావాలంటే చెప్పండి మధు గారు!