The average of 7 distinct natural numbers is 26. The average of the least two numbers is 16. The average of the largest two numbers is 36. Sum of smallest and largest is 52. Sum of the squares of the middle three numbers is 2084. If all the 7 numbers are even and written in increasing order, what is the 3rd number counted from the largest number? ఏడు విభిన్న సహజ సంఖ్యల సరాసరి 26. కనిష్ఠ రెండు సంఖ్యల సరాసరి 16. గరిష్ఠ రెండు సంఖ్యల సరాసరి 36. కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠ సంఖ్యల మొత్తం 52 మధ్యలో ఉన్న మూడు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తము 2084. ఈ ఏడు సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలు అయి మరియు వాటిని ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాస్తే, గరిష్ఠ సంఖ్య నుండి లెక్కించగా, 3వ సంఖ్య ఏది ?

 

మనం ఈ ప్రశ్నను ఒక్కొక్కదిగా అర్థం చేసుకొని, సరైన సంఖ్యలను కనుగొంటాం.

---

Step 1: Let the 7 distinct even natural numbers be in ascending order:

Let the 7 numbers be:
a < b < c < d < e < f < g
(ఇవి అన్నీ సరి సంఖ్యలు, అంటే even numbers)

---

Step 2: Average of all 7 numbers is 26

So their sum = 7 × 26 = 182

---

Step 3: Average of least two numbers is 16

⇒ (a + b)/2 = 16 ⇒ a + b = 32

---

Step 4: Average of largest two numbers is 36

⇒ (f + g)/2 = 36 ⇒ f + g = 72

---

Step 5: Sum of smallest and largest is 52

⇒ a + g = 52

---

Now use these to find values step-by-step

We know:

• a + b = 32 …(1)
• f + g = 72 …(2)
• a + g = 52 …(3)
• total sum = a + b + c + d + e + f + g = 182 …(4)

From (3): a + g = 52
So from this: g = 52 - a …(5)

Substitute (5) in (2):
f + (52 - a) = 72
⇒ f = 72 - 52 + a = 20 + a …(6)

From (1): a + b = 32 ⇒ b = 32 - a …(7)

Now total sum:
a + b + c + d + e + f + g = 182

Substitute values from (5), (6), (7):

a + (32 - a) + c + d + e + (20 + a) + (52 - a) = 182
⇒ 32 + c + d + e + 20 + 52 = 182
⇒ c + d + e + 104 = 182
⇒ c + d + e = 78

---

Step 6: Given that squares of middle 3 numbers (c, d, e) = 2084

So: c² + d² + e² = 2084 …(8)

And: c + d + e = 78 …(9)

Let’s try suitable even numbers c < d < e which add up to 78 and check their squares.

Try:

• c = 24, d = 26, e = 28 ⇒ sum = 78
  Check squares: 24² + 26² + 28² = 576 + 676 + 784 = 2036 ❌

Try:

• c = 22, d = 26, e = 30 ⇒ sum = 78
  Squares = 484 + 676 + 900 = 2060 ❌

Try:

• c = 20, d = 26, e = 32 ⇒ sum = 78
  Squares = 400 + 676 + 1024 = 2100 ❌

Try:

• c = 22, d = 24, e = 32 ⇒ sum = 78
  Squares = 484 + 576 + 1024 = 2084 ✅ Perfect!

---

So c = 22, d = 24, e = 32

Now total 7 numbers:

• We already found:
  • a = ?
  • b = ?
  • c = 22
  • d = 24
  • e = 32
  • f = 20 + a [from (6)]
  • g = 52 - a [from (5)]

We also know a + b = 32 ⇒ try values of a that make all numbers distinct and even.

Try a = 12
⇒ b = 20, f = 32, g = 40

Now list all:
a=12, b=20, c=22, d=24, e=32, f=32, g=40

But e = 32 and f = 32 ⇒ not distinct

Try a = 10
⇒ b = 22, already c=22 ⇒ conflict

Try a = 8
⇒ b = 24, but d = 24 ⇒ conflict

Try a = 14
⇒ b = 18, f = 34, g = 38

Now list:

• a = 14
• b = 18
• c = 22
• d = 24
• e = 32
• f = 34
• g = 38

Check:

• All even ✅
• All distinct ✅
• In increasing order ✅
• a + b = 32 ✅
• a + g = 52 ✅
• f + g = 72 ✅
• c + d + e = 78 ✅
• c² + d² + e² = 2084 ✅
• Total sum = 182 ✅

Perfect!

---

Now Final Step:

Numbers in increasing order:
14, 18, 22, 24, 32, 34, 38

Now, counting from the largest:

1st → 38
2nd → 34
3rd → 32

---

✅ Final Answer: 32

👉 గరిష్ఠ సంఖ్య నుండి లెక్కిస్తే మూడవ సంఖ్య 32.