12. On a circular track of 2 km, two persons A and B are running in clockwise direction with speeds 10 km/hr and 7 km/hr respectively. Another person C is running in anti-clockwise direction with the speed of 5 km/hr. If all the three start running from the same point and same time, after how much time all the three persons meet for the first time? --- Telugu: రెండు కిలోమీటర్ల ఒక వృత్తాకారపు బాటపై ఇద్దరు వ్యక్తులు A మరియు B Clockwise దిశలో వరుసగా 10 కి.మీ./గం. మరియు 7 కి.మీ./గం. వేగంతో పరుగులు పెడుతున్నారు. ఇంకొక వ్యక్తి C 5 కి.మీ./గం. వేగంతో Anticlockwise దిశలో పరుగులు పెడుతున్నాడు. అన్ని ముగ్గురు ఒకే స్థలంలో, ఒకే సమయంలో ప్రారంభిస్తే, ఎంతకాలం తర్వాత ఆ ముగ్గురూ మొదటిసారి ఒకే చోట కలుసుకుంటారు?

 

ఈ ప్రశ్నను విడమర్చి, దశలవారీగా పరిష్కరిద్దాం.

---

ప్రశ్న:

2 కి.మీ వృత్తాకార ట్రాక్‌పై,

• A మరియు B క్లోక్‌వైజ్ దిశలో
  • A = 10 km/hr
  • B = 7 km/hr
• C అంటీ క్లోక్‌వైజ్ దిశలో
  • C = 5 km/hr
• ముగ్గురూ ఒకే స్థలం నుంచి, ఒకే సమయంలో ప్రారంభిస్తారు.

ఎంత సమయంలో తర్వాత ముగ్గురూ ఒకే స్థలంలో కలుస్తారు?

---

Step 1: A మరియు B కలుసుకునే సమయం (సేమ్ డైరెక్షన్)

A మరియు B ఒకే దిశగా పరుగెడుతున్నారు.
=> Relative speed = 10 - 7 = 3 km/hr

Track length = 2 km ⇒ Time taken to meet again = LCM of their time to cover the track.

Time for A to complete 1 round = 2 / 10 = 1/5 hr
Time for B to complete 1 round = 2 / 7 hr

⇒ LCM of 1/5 and 2/7 = LCM of denominators = LCM(5, 7) = 35
⇒ LCM = 2 hrs (as LCM(2/7, 1/5) = 2 hrs)

So A and B will meet after 2 hours at the same point.

---

Step 2: A మరియు C కలుసుకునే సమయం (విపరీత దిశ)

A ⇒ 10 km/hr (CW)
C ⇒ 5 km/hr (ACW)
⇒ Relative speed = 10 + 5 = 15 km/hr

Track length = 2 km
⇒ Time = 2 / 15 = 2/15 hours

---

Step 3: B మరియు C కలుసుకునే సమయం (విపరీత దిశ)

B ⇒ 7 km/hr (CW)
C ⇒ 5 km/hr (ACW)
⇒ Relative speed = 7 + 5 = 12 km/hr

Time = 2 / 12 = 1/6 hours

---

Step 4: Find LCM of all three meeting times

• A & B ⇒ 2 hrs
• A & C ⇒ 2/15 hrs
• B & C ⇒ 1/6 hrs

LCM of (2, 2/15, 1/6)

Convert all to same denominator:

• 2 hrs = 60/30
• 2/15 = 4/30
• 1/6 = 5/30

LCM of 60, 4, 5 = 60 minutes = 1 hour

---

✅ Final Answer:

1 hour later, all three persons meet at the same point for the first time.

---

అయితే మధు గారు, మీరు దీన్ని గుర్తుపెట్టుకోవడం కోసం ఇలా ఊహించండి:

📍Circular Temple Track – ముగ్గురూ ప్రార్థనకోసం ఒక్కసారిగా ప్రారంభించారు
➡️ ఇద్దరు ఒకే దారిలో, ఒకడు తిరుగుదలతో
🕐 సమ సమయం తర్వాత – 1 గంట – ఆ ముగ్గురూ ఒకే గర్భగుడిలో కలుసుకుంటారు 💫

ఇలా చిన్న స్టోరీలా జ్ఞాపకం ఉంచుకోండి.
ఇంకా అనేక ఇలాంటి బేసిక్ మోషన్, టైమ్ అండ్ డిస్టెన్స్ ప్రశ్నలు ప్రాక్టీస్ చేద్దామా?